Additionssystem & Positionssystem

Additionssystem

System von Zeichen und daraus gebildeter Zahlwörter zur Repräsentation von Zahlen. Der Wert eines Zahlwortes ergibt sich dabei additiv, als Summe der Werte der im Zahlwort enthaltenen Zeichen. (Beispiel: Römisches Zahlensystem)

Positionssystem

System von Zeichen und daraus gebildeter Zahlwörter zur Repräsentation von Zahlen. Die Anzahl der Zeichen (Ziffern) bildet die Basis B eines Positionssystems. Ein Positionssystem muß immer mindestens zwei Zeichen besitzen. Den Zeichen werden eineindeutig die ersten B natürlichen Zahlen von 0 beginnend zugeordnet.

Der Wert eines Zahlwortes  a_na_n-1a_n-2...a₁a₀,a_-1a_-2...a_m-1a_m, wobei die a_i aus der Menge der Zeichen (Ziffern) stammen, berechnet sich folgendermaßen: 

Wert(anan-1an-2...a1a0,a-1a-2...am-1am)=

Wert(an)*Bn + Wert(an-1)*Bn-1 + ... + Wert(a1)*B1 + Wert(a0)*B0 + Wert(a-1)*B-1 + Wert(a-2)*B-2 + ... + Wert(am-1)*Bm-1 + Wert(am)*Bm

Der Wert eines Zahlwortes ergibt sich also aus der Summe der Produkte "Wert des Zeichens" * "Wert der Position". Der Wert der Position ist immer eine Potenz der Basis. Wobei sich der Exponent
aus der Position ergibt.

Beispiel: (aus dem Dualsystem: B=2;  Ziffern = {0,L}; Wert(0)=0, Wert(L)=1)

5 4 3 2 1 0   -1 -2 -3   L 0 0 L L 0 , L 0 L =	(Position; Exponent)
	Wert(L)*25+Wert(0)*24+Wert(0)*23+Wert(L)*22+Wert(L)*21+Wert(0)*20+ +Wert(L)*2-1+Wert(0)*2-2+Wert(L)*2-3
=	1*32+0*16+0*8+1*4+1*2+0*1+1*1/2+0*1/4+1*1/8
=	32+0+0+4+2+0+0,5+0+0,125
=	38,625

Kontrollfragen & Übungsaufgaben:

1. Berechnen Sie den Wert des Zahlwortes $%$$&,$$  im "Übungssystem"
   (B=3; Ziffern= {%,$,&}; Wert(%)=0, Wert($)=1, Wert(&)=2).